arbol de probabilidad

Probabilidad condicionada
En un concurso de televisión, se dispone de 20 coches, para premiar al concursante, de las marcas y colores que se indican en la siguiente tabla:

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20


Los coches están colocados aleatoriamente, tras 20 puertas, de forma que el concursante no ve el coche que hay detrás de cada puerta.

El concursante elige un número, entre 1 y 20, y si acierta la marca y el color del coche que hay en la puerta elegida, gana, en caso contrario pierde.

El concurso lo podemos considerar como un experimento aleatorio. Cada resultado es el coche elegido.

Para describir fácilmente todo el proceso vamos a considerar:

Suceso P : El coche es un Seat Panda
Suceso T : El coche es un Seat Toledo
Suceso R : El coche es de color rojo
Suceso A : El coche es de color azul


Así el suceso : "Seat Toledo de color rojo" lo representamos por : T ∩ R y la probabilidad de este suceso, sigue de la tabla :

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20



P( T ∩ R ) = 7/20
La probabilidad de que el coche sea un Seat Toledo es :

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20



P(T)=10/20 = 1/2
¿Qué ocurre si, una vez que el concursante ha elegido puerta, el presentador, le da la pista de que el coche que hay tras la puerta es rojo?. Tendremos que cambiar la probabilidad al suceso T y al suceso P. A la probabilidad del suceso T cuando se sabe que ha ocurrido R, le llamamos probabilidad condicionada de T, sabiendo que ha ocurrido R y escribimos:

P(T/R)

Para asignar las nuevas probabilidades hemos de ser consecuentes con las propiedades que debe cumplir toda asignación de probabilidades. El nuevo espacio muestral es el señalado en rojo en la tabla siguiente. Por tanto asignamos así las probabilidades:

Rojo Azul Totales
SeatPanda 2 8 10
SeatToledo 7 3 10
Totales 9 11 20



P(T/R) = 7/9 ; P(P/R) = 2/9
De la tabla anterior, siguen fácilmente las siguientes relaciones :



Consideremos ahora el siguiente experimento : Dos urnas, A y B ,la urna A, contiene 3 bolas verdes y 2 bolas rojas, la urna B contiene 2 bolas verdes y 3 bolas rojas.

Se realiza el experimento en dos tiempos, primero se selecciona urna por un procedimiento aleatorio y posteriormente de la urna elegida se extrae una bola.

Para representar, de forma muy adecuada, este tipo de experimentos, se realiza un esquema, llamado : árbol de probabilidades


Cada flecha del diagrama se denomina rama del árbol; a cada rama, asignamos la probabilidad que le corresponde. Un recorrido, desde el comienzo del experimento hasta el final, se llama un camino.

Si sabemos que ha ocurrido el suceso A, tenemos que volver a asignar probabilidades a los distintos caminos; todos los caminos que comienzan por el suceso B, tendrán probabilidad 0 y los que empiezan por el suceso A :



Hay que aceptar por tanto las mismas relaciones entre probabilidades a las que habíamos llegado en el experimento anterior :



Para concretar tenemos que admitir la siguiente definición:

Definición 1. Probabilidad condicionada
De un suceso R sabiendo que ha ocurrido otro A



Y dos teoremas:

Teorema 1. Regla del producto
De la definicion 1, despejando, sigue que:



Teorema 2. Probabilidad total
Si A y B forman un sistema completo de sucesos , la probabilidad de cualquier otro suceso R es:




Sucesos dependientes
Dos sucesos son dependientes si el resultado de uno influye en el otro. Los sucesos A y B son dependientes si y sólo si P(A) es distinto de P(A/B) y P(B) es distinto de P(B/A)


Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no influye en el resultado del otro. Los sucesos A y B son independientes si y sólo si P(A)=P(A/B) y P(B)=P(B/A).



Probabilidades a posteriori. Teorema de Bayes.
Vamos a considerar de nuevo, el experimento de las urnas A y B, que contienen bolas verdes y rojas:


Si sabemos que ha salido una bola roja, los caminos posibles en el árbol de probabilidades, quedan reducidos a dos, los señalados en rojo en la imagen anterior; tenemos que reasignar probabilidades, todos los caminos que terminan en bola verde, deberán tener probabilidad 0. ¿Cómo asignamos probabilidades a los caminos que conducen a bola roja?



En resumen podemos enunciar el siguiente resultado :

Teorema de Bayes o de las probabilidades a posteriori